Question

設集合W是滿足下列兩個條件的無窮數列{a_n}的集合：①對任意n∈N⁺，

an+an+2

2

≤a_n+1，恒成立；②對任意n∈N⁺，存在與n無關的常數M，使a_n≤M恒成立．
（Ⅰ）若{a_n}是等差數列，S_n是其前n項的和，且a₃=4，S₃=18，試探究數列{S_n}與集合W之間的關系；
（Ⅱ）設數列{b_n}的通項公式為b_n=5n-2ⁿ，且{b_n}∈W，求M的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先由已知a₃=4，S₃=18再根據a_n=a₁+（n-1）d，sn=na1+

n(n-1)

2

d可求出a₁、d及S_n，然后根據等差數列的求和公式求出s_n，比較得

Sn+Sn+2

2

-sn+1的正負，看是否符合條件①；再由S_n的公式判斷是否符合條件②；若都否和，則{S_n}∈W．
（Ⅱ）首先根據已知條件{b_n}∈W知{b_n}符合條件②，故必須求出{b_n}的最大值，因而由b_n+1-b_n=5（n+1）-2n+1-5n+=5-2n，當n≥3時，b_n+1-b_n＜0，此時數列{b_n}單調遞減，當n=1，2時，b_n+1-b_n＞0，b₁＜b₂＜b₃，因此可以得出數列{b_n}中的最大項是b₃=7，進而可知M≥7．

解答：解：（Ⅰ）設等差數列{a_n}的公差是d，則

a1+2d=4 3a1+3d=18

，解得

a1=8 d=-2

，（2分）
∴S_n=na₁+

n(n-1)

2

d=-n²+9n，
∴

Sn+Sn+2

2

-S_n+1=

(Sn+2-Sn+1)-(Sn+1-Sn)

2

=

an+2-an+1

2

=

d

2

=-1＜0
∴得

Sn+Sn+2

2

＜S_n+1，適合條件①．（5分）
又S_n=-n²+9n=-(n-

9

2

)2+

81

4

，
∴所以當n=4或n=5時，S_n取得最大值20，即S_n≤20，適合條件②．（7分）
綜上，{S_n}∈W．（8分）
（Ⅱ）∵b_n+1-b_n=5（n+1）-2ⁿ⁺¹-5n+=5-2ⁿ，
∴當n≥3時，b_n+1-b_n＜0，此時數列{b_n}單調遞減；（11分）
當n=1，2時，b_n+1-b_n＞0，即b₁＜b₂＜b₃，（12分）
因此數列{b_n}中的最大項是b₃=7，（13分）
∴M≥7，即M的取值范圍是[7，+∞）．（14分）

點評：本題主要考等差數列的公式及等差數列和的公式的應用以及集合之間的關系和最值問題，屬于中檔題．