Question

【題目】已知橢圓的一個頂點為，焦點在軸上，中心在原點.若橢圓短軸的上頂點到直線的距離為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若橢圓的下頂點為，設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點，，當(dāng)時，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的頂點坐標(biāo)及焦點位置，可得；由上頂點到直線的距離，結(jié)合點到直線距離公式可求得，即可得橢圓的方程；

（2）設(shè)，，弦的中點，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，根據(jù)兩個不同交點可知，得；由中點坐標(biāo)公式及韋達(dá)定理表示出的坐標(biāo)，由題意可知，進(jìn)而由兩條直線垂直時的斜率關(guān)系得，即，由上述三式即可確定的取值范圍.

（1）依題意可設(shè)橢圓方程為，則橢圓上頂點.

由題設(shè)，解得，

因為焦點在軸上，所以舍去.

∴所求橢圓的方程為.

（2）設(shè)，，弦的中點.

由，得.

∵直線與橢圓相交，

∴.①

∴，從而.

由（1）得，

∴.

又∵，

∴，

則，即.②

把②代入①，得，解得；

由②，得，解得.

綜上求得的取值范圍是.