Question

設函數f(x)=|sinx+

2

3+sinx

+m|(x∈R，m∈R)最大值為g（m），則g（m）的最小值為

3

4

．

Answer 1

分析：設h（x）=（sinx+3）+

2

3+sinx

+m-3，令t=sinx+3，2≤t≤4，利用p（t）=t+

2

t

+m-3在[2，4]內是單調遞增函數，可求得m≤p（t）≤m+

3

2

，從而可得f（x）_max=g（m），通過對m分類討論即可求得g（m）的最小值．

解答：解：設h（x）=sinx+

2

3+sinx

+m=（sinx+3）+

2

3+sinx

+m-3，
∵-1≤sinx≤1，
∴2≤sinx+3≤4，
令t=sinx+3，2≤t≤4，
則p（t）=t+

2

t

+m-3在[2，4]內是單調遞增函數，
∴3+m-3≤p（t）≤4+

2

4

+m-3=m+

3

2

，
即m≤p（t）≤m+

3

2

，
∵f（x）=|sinx+

2

3+sinx

+m|的最大值為g（m），
∴f（x）_max=|m+

3

2

|，f（x）_min=|m|，
當m≤-

3

4

時，g（m）=-m≥

3

4

，
當m＞-

3

4

時，g（m）=m+

3

2

＞

3

4

，
所以g（m）得最小值是

3

4

．

點評：本題考查三角函數的最值，考查三角函數與雙鉤函數的單調性與最值，考查構造函數與分類討論思想的綜合運用，屬于難題．