Question

已知函數f1(x)=3|x-p1|，f2(x)=2•3|x-p2|（p₁，p₂為實數），函數f（x）定義為：對于每個給定的x，f(x)=

f1(x) ，f1(x)≤f2(x) f2(x) ，f1(x)＞f2(x)

．
（1）討論函數f₁（x）的奇偶性；
（2）解不等式：f₂（x）≥6；
（3）若f（x）=f₁（x）對任意實數x都成立，求p₁，p₂滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）通過p₁=0與p₁≠0，直接判斷函數的奇偶性即可．
（2）直接利用指數函數的性質，轉化指數不等式為絕對值不等式，求解即可．
（3）根據定義，問題等價于“f₁（x）≤f₂（x）恒成立”，從而進一步轉化為具體不等式恒成立問題，可求p₁，p₂滿足的條件．

解答：解：（1）當p₁=0時，函數f₁（x）=3^|x|，
顯然函數是偶函數，當p₁≠0時，函數的對稱軸為 x=p，
所以此時函數f1(x)=3|x-p1|既不是奇函數也不是偶函數．
（2）因為f2(x)=2•3|x-p2|，f₂（x）≥6，
所以2•3|x-p2|≥6，即3|x-p2|≥3，
所以|x-p₂|≥1，解得-1+p₂≥x或x≥1+p₂．
所以不等式的解集為{x|-1+p₂≥x或x≥1+p₂}．
（3）由f（x）的定義可知，f（x）=f₁（x）（對所有實數x）
等價于f₁（x）≤f₂（x）（對所有實數x）
這又等價于3|x-p₁|≤2•3|x-p₂|，
即3|x-p₁|-|x-p₂|≤3^log₃2=2對所有實數x均成立．（*）
由于|x-p₁|-|x-p₂|≤|（x-p₁）-（x-p₂）|=|p₁-p₂|（x∈R）的最大值為|p₁-p₂|，
故（*）等價于3|p₁-p₂|≤2，即|p₁-p₂|≤log₃2，這就是所求的條件．
綜上：|p₁-p₂|≤log₃2

點評：本題考查其他不等式的解法，函數的最值及其幾何意義，函數奇偶性的判斷，考查分析問題解決問題的能力，考查轉化思想．