Question

(本小題滿分14分)

已知函數(shù)．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，正項(xiàng)數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)公式；

（3）當(dāng)為奇數(shù)且時(shí)，求證：．

Answer 1

解：(1)由已知得，x＞0且．

當(dāng)k是奇數(shù)時(shí),則,則f(x)在(0,+)上是增函數(shù);

當(dāng)k是偶數(shù)時(shí),則,,　

所以當(dāng)x(0,1)時(shí),, 當(dāng)x(1,+)時(shí),，

故當(dāng)k是偶數(shù)時(shí),f(x)在(0,1)是減函數(shù),在(1,+)是增函數(shù)．

(2)由已知得 ．

所以{}是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,故．

(3) 由已知得，

所以左邊==，

令S=．

由倒序相加及組合數(shù)的性質(zhì)得:

2S=

．       所以 ．

所以, 成立．