Question

【題目】如圖，A 為橢圓的下頂點，過 A 的直線 l 交拋物線于B、C 兩點，C 是 AB 的中點．

（I）求證：點C的縱坐標是定值；

（II）過點C作與直線 l 傾斜角互補的直線l交橢圓于M、N兩點，求p的值，使得△BMN的面積最大．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見證明；（II）見解析

【解析】

（I）根據點在拋物線上設出B的坐標，可表示出C的坐標，代入拋物線方程求得縱坐標.

（II）先利用條件得到，聯立直線與橢圓的方程，求得弦長及到的距離，寫出面積的表達式，利用基本不等式求得最值及相應的參數即可.

（Ⅰ）易知，不妨設，則，

代入拋物線方程得：

，得：，為定值.

（Ⅱ）點是中點，

直線的斜率，直線的斜率，

直線的方程：，即，

不妨記，則：

代入橢圓方程整理得：，

設，則

，，

，

到的距離，

所以 .

取等號時，，得，所以，.