Question

已知P（x₀，y₀）是直線x+y-6=0上的動點，若圓D：（x-1）²+（y-1）²=4存在兩點B、C，使∠BPC=60°，則x₀的取值范圍是

 

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Answer 1

分析：從直線上的點向圓上的點連線成角，當且僅當兩條線均為切線時才是最大的角，不妨設切線為PE，PF，則∠EPF為60°時，∠EDF為120°，所以DP的長度為4，故可確定點P的橫坐標x₀的取值范圍．

解答：解：由題意，
從直線上的點向圓上的點連線成角，
當且僅當兩條線均為切線時才是最大的角，
不妨設切線為PE，PF，則∠EPF為60°時，∠EDF為120°，
∴在Rt△PED中，
PD=4．
故問題轉(zhuǎn)化為在直線x+y-6=0上找到一點，使它到點D的距離為4．
設P（x₀，6-x₀），
∵D（1，1），
∴|PD|²=（x₀-1）²+（5-x₀）²=16
∴x₀=1或5．
∴點P的橫坐標x₀的取值范圍是[1，5]
故答案為：[1，5]

點評：本題考查直線與圓的方程的應用，考查學生分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是明確從直線上的點向圓上的點連線成角，當且僅當兩條線均為切線時才是最大的角．