Question

【題目】已知 和 。試問(wèn)：當(dāng)且僅當(dāng)、滿足什么條件時(shí)，對(duì)上任意一點(diǎn)，均存在以為頂點(diǎn)、與外切、與 內(nèi)接的平行四邊形？并證明你的結(jié)論。

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

所求條件為 .

必要性，易知，圓外切平行四邊形一定是菱形，圓心即菱形中心.

假設(shè)結(jié)論成立，則對(duì)點(diǎn)，有為頂點(diǎn)的菱形與內(nèi)接，與 外切.

的相對(duì)頂點(diǎn)為.由于菱形的對(duì)角線互相垂直平分，另外兩個(gè)頂點(diǎn)必在軸上，為和 .菱形一條邊的方程為，即 .由菱形與外切，故必有，整理得 .

充分性.設(shè) ，是上任意一點(diǎn)，過(guò)、 作的弦，再過(guò)作與垂直的弦 ，則為與內(nèi)接的菱形.設(shè) ，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

代入橢圓方程得， .

于是，

.

在中，設(shè)點(diǎn)到的距離為 ，則，故得 .

同理，點(diǎn) 到的距離也為1，故菱形 與外切.