Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的單調區間；

（2）設函數， ， 為自然對數的底數.當時，若， ，不等式成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）單調遞減區間是，單調遞增區間是；（2）3

【解析】試題分析：（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；
（2）問題等價于等價于， 對恒成立，，設，求出函數的導數，根據函數的單調性求出k的最大值即可．

試題解析：（1）對函數求導得，

令，得，

當時， ，此時函數單調遞減；

當時， ，此時函數單調遞增，

所以函數的單調遞減區間是，單調遞增區間是.

（2）當時，由（1）可知，

， ，不等式成立等價于當時， 恒成立，

即對恒成立，

因為時，

所以對恒成立，

即對恒成立，

設，

則，

令，則，

當時， ，

所以函數在上單調遞增，

而， ，

所以，

所以存在唯一的，使得，即，

當時， ， ，所以函數單調遞減；

當時， ， ，所以函數單調遞增，

所以當時，函數有極小值，同時也為最小值，

因為 ，

又，且，

所以的最大整數值是.