Question

如圖，一張平行四邊形的硬紙片ABC₀D中，AD=BD=1，AB=

2

．沿它的對角線BD把△BDC₀折起，使點C₀到達平面ABC₀D外點C的位置．
（Ⅰ）△BDC₀折起的過程中，判斷平面ABC₀D與平面CBC₀的位置關系，并給出證明；
（Ⅱ）當△ABC為等腰三角形，求此時二面角A-BD-C的大小．

Answer 1

分析：（I）用勾股定理的逆定理，可證出AD⊥DB，C₀B⊥DB．因為在折疊過程中，所以DB始終與BC垂直，根據線面垂直的判定定理可得DB⊥平面CBC₀，最后用面面垂直的判定定理可得到平面ABC₀D與平面CBC₀互相垂直．
（II）以D為坐標原點，射線DA，DB分別為x軸正半軸和y軸正半軸，建立空間直角坐標系，從而得出A、B、D各點的坐標，再設點C（x，1，z），其中z＞0，根據BC=1和△ABC為等腰三角形建立關于x、z方程組，解之可得點C的坐標為(

1

2

，1，

3

2

)．最后用空間向量夾角的坐標公式，求出向量

DA

與

BC

夾角為60°，即為二面角A-BD-C的大小．

解答：解：（Ⅰ）結論：平面ABC₀D⊥平面CBC₀…（1分）
證明：∵AD=BD=1，AB=

2

．
∴AD²+BD²=2=AB²，可得∠ADB=90°，即AD⊥DB
∵四邊形ABC₀D是平行四邊形，∴AD∥C₀B，可得C₀B⊥DB．
而在折疊過程中，∠DBC=∠DBC₀=90°不變，所以DB⊥BC，
又∵DB⊥BC₀，BC、BC₀是平面CBC₀內的相交直線，∴DB⊥平面CBC₀．
∵DB?平面ABC₀D，所以平面ABC₀D⊥平面CBC₀．…（5分）
（Ⅱ）以D為坐標原點，射線DA，DB分別為x軸正半軸和y軸正半軸，建立如圖的空間直角坐標系D-xyz，
則A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，0，0）．…（6分）
由（Ⅰ）可設點C的坐標為（x，1，z），其中z＞0，
則有x²+z²=1．      ①
因為△ABC為等腰三角形，
所以AC=1或AC=

2

．…（8分）
若AC=1，則有（x-1）²+1+z²=1．
則此得x=1，z=0，不合題意．
若AC=

2

，則有（x-1）²+1+z²=2．      ②
聯立①和②得x=

1

2

，z=

3

2

．
因此點C的坐標為(

1

2

，1，

3

2

)．
由于DA⊥BD，BC⊥BD，所以

DA

與

BC

夾角的大小等于二面角A-BD-C的大小．
∵

DA

=(1，0，0)，

BC

=(

1

2

，0，

3

2

)，
∴cos＜

DA

，

BC

＞=

DA • BC

| DA || BC |

=

1

2

．
所以＜

DA

，

BC

＞=60°，即二面角A-BD-C的大小為60°．…（12分）

點評：本題以一個平面翻折問題為載體，考查了空間的線面位置關系，考查了平面與平面垂直的判定和兩個平面所成角的大小求法等知識，屬于中檔題．