Question

證明一元二次方程ax²+bx+c=0有一正根和一負根的充要條件是ac＜0.

Answer 1

充分性：若ac＜0,則b²-4ac＞0,且＜0,
∴方程ax²+bx+c=0有兩個相異實根，且兩根異號，即方程有一正根和一負根.
必要性：若一元二次方程ax²+bx+c=0有一正根和一負根，則Δ=b²-4ac＞0,x₁x₂=＜0,∴ac＜0.
綜上所述，一元二次方程ax²+bx+c=0有一正根和一負根的充要條件是ac＜0.

充分性：若ac＜0,則b²-4ac＞0,且＜0,
∴方程ax²+bx+c=0有兩個相異實根，且兩根異號，即方程有一正根和一負根.
必要性：若一元二次方程ax²+bx+c=0有一正根和一負根，則Δ=b²-4ac＞0,x₁x₂=＜0,∴ac＜0.
綜上所述，一元二次方程ax²+bx+c=0有一正根和一負根的充要條件是ac＜0.