Question

袋中裝有一些大小相同的球，其中有號數為1的球1個，號數為2的球2個，號數為3的球3個，…，號數為n的球n個．從袋中任取一球，其號數作為隨機變量ξ，求ξ的概率分布和期望．

Answer 1

分析：由題意知從袋中任取一球，其號數作為隨機變量ξ則變量的可能取值是1、2、3…n，當ξ=1時，表示從袋中取球，取到一號球，試驗發生包含的所有事件共有（1+2+3+…+n），而滿足條件的事件數是1，求比值得到概率，以此類推，寫出分布列和期望．

解答：解：由題意知從袋中任取一球，其號數作為隨機變量ξ則變量的可能取值是1、2、3…n，
當ξ=1時，表示從袋中取球，取到一號球，試驗發生包含的所有事件共有（1+2+3+…+n）=

n(n+1)

2

，
而滿足條件的事件數是1，
∴P（ξ=1）=

1

n(n+1) 2

=

2

n(n+1)

，
以此類推，得到其他變量的概率，
∴ξ的概率分布為

∴Eξ=1×

2

n(1+n)

+2×

4

n(1+n)

+3×

6

n(n+1)

++n×

2n

n(n+1)

=

2

n(1+n)

（1²+2²+3²++n²）
=

2n+1

3

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，用到等差數列的前n項和，本題這種類型是近幾年高考題中經常出現的，考查離散型隨機變量的分布列和期望，大型考試中理科考試必出的一道問題．