Question

設(shè)函數(shù)，曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為7x-4y-12=0．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）證明：曲線y=f（x）上任一點(diǎn)處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知曲線上的點(diǎn)，并且知道過此點(diǎn)的切線方程，容易求出斜率，又知點(diǎn)（2，f（2））在曲線上，利用方程聯(lián)立解出a，b
（2）可以設(shè)P（x，y）為曲線上任一點(diǎn)，得到切線方程，再利用切線方程分別與直線x=0和直線y=x聯(lián)立，得到交點(diǎn)坐標(biāo)，接著利用三角形面積公式即可．
解答：解析：（1）方程7x-4y-12=0可化為，當(dāng)x=2時(shí)，，
又，于是，解得，故．

（2）設(shè)P（x，y）為曲線上任一點(diǎn)，由知曲線在點(diǎn)P（x，y）處的切線方程為，即
令x=0，得，從而得切線與直線x=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為；
令y=x，得y=x=2x，從而得切線與直線y=x的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2x，2x）；
所以點(diǎn)P（x，y）處的切線與直線x=0，y=x所圍成的三角形面積為．
故曲線y=f（x）上任一點(diǎn)處的切線與直線x=0，y=x所圍成的三角形面積為定值，此定值為6．
點(diǎn)評(píng)：高考考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)及直線方程的相關(guān)知識(shí)
易錯(cuò)點(diǎn)：運(yùn)算量大，不仔細(xì)而出錯(cuò)．
備考提示：運(yùn)算能力一直是高考考查的能力之一，近年來，對(duì)運(yùn)算能力的要求降低了，但對(duì)準(zhǔn)確率的要求提高了．