Question

如圖，已知圓心坐標為的圓與軸及直線均相切，切點分別為、，另一圓與圓、軸及直線均相切，切點分別為、．

（1）求圓和圓的方程；
（2）過點作的平行線，求直線被圓截得的弦的長度；

Answer 1

（1）；（2）

解析試題分析：（1）圓M與圓N的圓心都在的平分線上，并且兩圓都與x軸相切，所以半徑等于圓心的縱坐標，所以圓M的方程即可求出，利用相似可求出N點的坐標.（2）通過計算弦心距，再利用圓中的重要三角形，解出半弦長從而求得弦長.
試題解析：（1）由于圓與的兩邊相切，故到及的距離均為圓的半徑，則在的角平分線上，同理，也在的角平分線上，
即三點共線，且為的角平分線，
的坐標為，到軸的距離為1，即：圓的半徑為1，
圓的方程為；
設圓的半徑為，由，得：,
即，，圓的方程為：；
（2）由對稱性可知，所求弦長等于過點的的平行線被圓截得的弦長，
此弦所在直線方程為，即，
圓心到該直線的距離，
則弦長=
考點：1.求圓的標準方程.2.直線與圓相切，圓與圓相切.3.圓中的重要三角形.4.點到直線的距離.