Question

（2009•青浦區二模）（理）已知A、B是拋物線y²=4x上的相異兩點．
（1）設過點A且斜率為-1的直線l₁，與過點B且斜率為1的直線l₂相交于點P（4，4），求直線AB的斜率；
（2）問題（1）的條件中出現了這樣的幾個要素：已知圓錐曲線Γ，過該圓錐曲線上的相異兩點A、B所作的兩條直線l₁、l₂相交于圓錐曲線Γ上一點；結論是關于直線AB的斜率的值．請你對問題（1）作適當推廣，并給予解答；
（3）若線段AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸相交于點Q（x₀，0）．若x₀=5，試用線段AB中點的縱坐標表示線段AB的長度，并求出中點的縱坐標的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由直線與拋物線聯立方程組解得A（16，-8），B（0，0），由點斜式寫出兩條直線l₁、l₂的方程，從而得出直線AB的斜率；
（2）推廣的評分要求分三層：
一層：點P到一般或斜率到一般，或拋物線到一般，例子：1、已知A、B是拋物線y²=4x上的相異兩點．設過點A且斜率為-1的直線l₁，與過點B且斜率為1的直線l₂相交于拋物線y²=4x上的一定點P(

t2

4

，t)，求直線AB的斜率等等；
二層：兩個一般或推廣到其它曲線；
三層：滿分（對拋物線，橢圓，雙曲線或對所有圓錐曲線成立的想法）
（3）點Q（x₀，0），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y_i²=4x_i（i=1，2）．設線段AB的中點是M（x_m，y_m），斜率為k，寫出線段AB的垂直平分線l的方程，又點Q（5，0）在直線l上，求出x_m=3．最后利用0＜y_m²＜4x_m=12，即可求出中點的縱坐標的取值范圍．

解答：解：（理）（1）由

x+y-8=0 y2=4x.

解得A（16，-8）；由

x+y=0 y2=4x.

解得B（0，0）．
由點斜式寫出兩條直線l₁、l₂的方程，l₁：x+y-8=0；l₂：x-y=0，所以直線AB的斜率為-

1

2

． …（4分）
（2）推廣的評分要求分三層
一層：點P到一般或斜率到一般，或拋物線到一般（（3分），問題（1分）、解答2分）
例：1、已知A、B是拋物線y²=4x上的相異兩點．設過點A且斜率為-1的直線l₁，與過點B且斜率為1的直線l₂相交于拋物線
y²=4x上的一定點P(

t2

4

，t)，求直線AB的斜率；
2、已知A、B是拋物線y²=4x上的相異兩點．設過點A且斜率為-k 1的直線l₁，與過點B且斜率為k的直線l₂相交于拋物線
y²=4x上的一點P（4，4），求直線AB的斜率；
3、已知A、B是拋物線y²=2px（p＞0）上的相異兩點．設過點A且斜率為-1的直線l₁，與過點B且斜率為1的直線l₂相交于拋物線y²=2px（p＞0）上的一定點P(

t2

2p

，t)，求直線AB的斜率； AB的斜率的值．
二層：兩個一般或推廣到其它曲線（（4分），問題與解答各占2分）
例：4．已知點Ρ是拋物線y²=4x上的定點．過點P作斜率分別為k、-k的兩條直線l₁、l₂，分別交拋物線于A、B兩點，試計算直線AB的斜率．
三層：滿分（對拋物線，橢圓，雙曲線或對所有圓錐曲線成立的想法．）（（7分），問題（3分）、解答4分）
例如：5．已知拋物線y²=2px上有一定點P，過點P作斜率分別為k、-k的兩條直線l₁、l₂，分別交拋物線于A、B兩點，試計算直線AB的斜率．
過點P（x₀，y₀），斜率互為相反數的直線可設為y=k（x-x₀）+y₀，y=k（x-x₀）+y₀，其中y₀²=2px₀．
由

y=k(x-x0)+y0 y2=2px

得ky²-2py+2py₀-ky₀²=0，所以A(

( 2p k -y0)2

2p

，

2p

k

-y0)
同理，把上式中k換成-k得B(

( 2p k +y0)2

2p

，-

2p

k

-y0)，所以
當P為原點時直線AB的斜率不存在，當P不為原點時直線AB的斜率為-

p

y0

．
（3）點Q（x₀，0），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y_i²=4x_i（i=1，2）．
設線段AB的中點是M（x_m，y_m），斜率為k，則k=

y2-y1

x2-x1

=

4

y1+y2

=

2

ym

．（12分）
所以線段AB的垂直平分線l的方程為y-ym=-

ym

2

(x-xm)，
又點Q（5，0）在直線l上，所以-ym=-

ym

2

(5-xm)，
而y_m≠0，于是x_m=3．                  …（13分）
（斜率kMQ=

ym-0

xm-5

，AB⊥MQ，

2

ym

=-

xm-5

ym

，則x_m=3  （13分）
線段AB所在直線的方程為y-ym=

2

ym

(x-3)，…（14分）
代入y²=4x，整理得4x²-24x+y_m⁴-12y_m²+36=0…（15分）x₁+x₂=6，x1•x2=

ym4-12ym2+36

4

．
設AB線段長為l，則l2=(1+k2)(x1-x2)2=(1+

4

ym2

)[(x1+x2)2-4x1x2]
=（4+y_m²）（-y_m²+12）=-y_m⁴+8y_m²+48…（16分）
因為0＜y_m²＜4x_m=12，所以

y

m

∈(-2

3

， 0)∪(0， 2

3

)…（18分）
即：l=

- y 4 m +8 y 2 m +48

．（-2

3

＜ym＜2

3

）．

點評：本小題主要考查拋物線的簡單性質、直線與圓錐曲線的綜合問題等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．