Question

如圖，在三棱柱中，△是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，平面，，分別是，的中點(diǎn).

（1）求證：∥平面；

（2）若為上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)與平面所成最大角的正切值為時(shí)，求平面 與平面所成二面角（銳角）的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

(1)對(duì)于線面的平行的證明，關(guān)鍵是證明∥. （2）

【解析】

試題分析：（1）證明：取的中點(diǎn)，連接、. 

∵為的中點(diǎn)，

∴∥，且.       1分

∵∥，且，∴∥，.        2分

∴四邊形是平行四邊形.  ∴∥.          3分

∵平面，平面，∴∥平面.       4分

（2）解：∵平面，平面， ∴.

∵△是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，是的中點(diǎn)，∴，.

∵平面，平面，，∴平面.

∴為與平面所成的角.   

∵，在Rt△中，，

∴當(dāng)最短時(shí)，的值最大，則最大.   

∴當(dāng)時(shí)，最大. 此時(shí)，

.∴.

在Rt△中，.

∵Rt△～Rt△，

∴，即.∴.           8分

以為原點(diǎn)，與垂直的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

則，，，.

∴，，.設(shè)平面的法向量為，由，，令，則.

∴平面的一個(gè)法向量為.       10分

∵平面， ∴是平面的一個(gè)法向量.

∴.                     11分

∴平面 與平面所成二面角（銳角）的余弦值為.     12分

考點(diǎn)：空間向量法，以及幾何證明

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了二面角的平面角的求解，以及線面平行的判定，屬于基礎(chǔ)題。