Question

（2013•浙江二模）已知點M到定點F（1，0）的距離和它到定直線l：x=4的距離的比是常數

1

2

，設點M的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的軌跡方程；
（Ⅱ）已知曲線C與x軸的兩交點為A、B，P是曲線C上異于A，B的動點，直線AP與曲線C在點B處的切線交于點D，當點P運動時，試判斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關系，并加以證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設點M（x，y），利用條件可得等式，化簡，可得曲線C的軌跡方程；
（Ⅱ）設出直線方程，代入橢圓方程，確定P的坐標，求出PF的方程，驗證圓心到直線的距離，即可得到結論．

解答：解：（Ⅰ）設點M（x，y），則據題意有

(x-1)2+y2

|x-4|

=

1

2

則4[（x-1）²+y²]=（x-4）²，
即3x²+4y²=12，∴

x2

4

+

y2

3

=1
故曲線C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，…（5分）
（Ⅱ）如圖由曲線C方程知A（-2，0），B（2，0），在點B處的切線方程為x=2．
以BD為直徑的圓與直線PF相切．
證明如下：由題意可設直線AP的方程為y=k（x+2）（k≠0）．
則點D坐標為（2，4k），BD中點E的坐標為（2，2k）．
直線方程代入橢圓方程，可得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0．
設點P的坐標為（x₀，y₀），則-2x₀=

16k2-12

3+4k2

．
所以x₀=

6-8k2

3+4k2

，y₀=

12k

3+4k2

．    …（7分）
因為點F坐標為（1，0），
當k=±

1

2

時，點P的坐標為（1，±

3

2

），點D的坐標為（2，±2）．
直線PF⊥x軸，此時以BD為直徑的圓與直線PF相切．
當k≠±

1

2

時，則直線PF的斜率kPF=

y0

x0-1

=

4k

1-4k2

．
所以直線PF的方程為y=

4k

1-4k2

(x-1)．
點E到直線PF的距離d=

| 8k 1-4k2 -2k- 4k 1-4k2 |

16k2 (1-4k2)2 +1

=2|k|．
又因為|BD|=2R=4|k|，故以BD為直徑的圓與直線PF相切．
綜上得，當直線AP繞點A轉動時，以BD為直徑的圓與直線PF相切．…（15分）

點評：本題考查橢圓方程，考查直線和圓錐曲線的位置關系，考查直線與圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．