Question

（2008•楊浦區二模）（文）已知向量

a

=(x2+1，-x)，

b

=(1，2

n2+1

) （n為正整數），函數f(x)=

a

• 

b

，設f（x）在（0，+∞）上取最小值時的自變量x取值為a_n．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）已知數列{b_n}，其中b_n=a_n+1²-a_n²，設S_n為數列{b_n}的前n項和，求

lim

n→∞

Sn

C 2 n

；
（3）已知點列A₁（1，a₁²）、A₂（2，a₂²）、A₃（3，a₃²）、…、A_n（n，a_n²）、…，設過任意兩點A_i，A_j（i，j為正整數）的直線斜率為k_ij，當i=2008，j=2010時，求直線A_iA_j的斜率．

Answer 1

分析：（1）先根據向量的數量積求出f（x）的解析式，再求出f（x）在（0，+∞）上取最小值時的自變量x即可得到數列{a_n}的通項公式；
（2）先求出數列{b_n}通項公式；進而求出前n項和S_n，代入所求

lim

n→∞

Sn

C 2 n

整理即可得到結論；
（3）先根據條件得到A₂₀₀₈（2008，a₂₀₀₈²），A₂₀₁₀（2010，2010_n²），再代入斜率的計算公式即可得到結論．

解答：解：（1）f（x）=

a

•

b

= (x2+1，-x)• (1，2

n2+1

)=x²-2

n2+1

x+1（2分）
拋物線的頂點橫坐標為x=

n2+1

＞0，
開口向上，在（0，+∞）上當x=

n2+1

時函數取得最小值，所以an=

n2+1

；（4分）
（2）∵b_n=a_n+1²-a_n²=（n+1）²+1-（n²+1）=2n+1．
是首項為3，公差為2的等差數列，
所以：S_n=

n(3+2n+1)

2

=n²+2n；
∴

Sn

c 2 n

=

n2+2n

n(n-1) 2

=

2n+4

n-1

=

2+ 4 n

1- 1 n

．
∴

lim

n→∞

Sn

C 2 n

=2．
（3）∵A₂₀₀₈（2008，a₂₀₀₈²），A₂₀₁₀（2010，2010_n²），
∴k=

a20102-a20082

2010-2008

=

20102+1-(20082+1)

2010-2008

=4018．

點評：本題是對數列知識與函數知識的綜合考查．本題涉及到的知識比較多，有數列的極限，數列的求和，二次函數的最值等．考查計算能儀以及分析能力．