Question

已知數列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，其前n項和S_n滿足S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3）．令bn=

1

an•an+1

．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若f（x）=2^x-1，求證：Tn=b1f(1)+b2f(2)+…+bnf(n)＜

1

6

（n≥1）；
（Ⅲ）令Tn=

1

2

(b1a+b2a2+b3a3+…+bnan)（a＞0），求同時滿足下列兩個條件的所有a的值：①對于任意正整數n，都有Tn＜

1

6

；②對于任意的m∈(0，

1

6

)，均存在n₀∈N^*，使得n≥n₀時，T_n＞m．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知S_n-S_n-1=S_n-1-S_n-2+2^n-1（n≥3）即a_n=a_n-1+2^n-1再用累加法求解．
（Ⅱ）由（I）求得b_n，再觀察T_n=b₁f（1）+b₂f（2）+…+b_nf（n）可用裂項相消法求解．
（Ⅲ）受（II ）的啟發，我們可以先a=2研究，由（Ⅱ）知：Tn＜

1

6

，即條件①滿足；又0＜m＜

1

6

，
∴Tn＞m?

1

2

(

1

1+2

-

1

2n+1+1

)＞m?2n+1＞

3

1-6m

-1?n＞log2(

3

1-6m

-1)-1＞0．
因為是恒成立，所以取n₀等于不超過log2(

3

1-6m

-1)的最大整數，則當n≥n₀時，T_n＞m（ⅱ）當a＞2時，∵n≥1，

an

2n

=(

a

2

)n≥

a

2

，∴an≥

a

2

•2n，．（ⅲ）當0＜a＜2時，∵n≥1，

an

2n

=(

a

2

)n≤

a

2

，∴an≤

a

2

•2n，分別放縮研究．

解答：解：（Ⅰ）由題意知S_n-S_n-1=S_n-1-S_n-2+2^n-1（n≥3）
即a_n=a_n-1+2^n-1（n≥3）（1分）
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）++（a₃-a₂）+a₂
=2^n-1+2^n-2++2²+5
=2^n-1+2^n-2++2²+2+1+2
=2ⁿ+1（n≥3）（3分）
檢驗知n=1、2時，結論也成立，故a_n=2ⁿ+1．（4分）
（Ⅱ）由于bnf(n)=

1

(2n+1)(2n+1+1)

•2n-1=

1

2

•

(2n+1+1)-(2n+1)

(2n+1)(2n+1+1)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+1+1

)
故Tn=b1f(1)+b2f(2)++bnf(n)=

1

2

[(

1

1+2

-

1

1+22

)+(

1

1+22

-

1

1+23

)++(

1

2n+1

-

1

2n+1+1

)]
=

1

2

(

1

1+2

-

1

2n+1+1

)＜

1

2

•

1

1+2

=

1

6

．（9分）
（Ⅲ）（ⅰ）當a=2時，由（Ⅱ）知：Tn＜

1

6

，即條件①滿足；又0＜m＜

1

6

，
∴Tn＞m?

1

2

(

1

1+2

-

1

2n+1+1

)＞m?2n+1＞

3

1-6m

-1?n＞log2(

3

1-6m

-1)-1＞0．
取n₀等于不超過log2(

3

1-6m

-1)的最大整數，則當n≥n₀時，T_n＞m．（10分）
（ⅱ）當a＞2時，∵n≥1，

an

2n

=(

a

2

)n≥

a

2

，∴an≥

a

2

•2n，
∴bn•an≥bn•

a

2

•2n=

a

2

•bn•2n．
∴Tn=

n

i=1

(

1

2

biai)≥

a

2

n

i=1

(bi•2i-1)=

a

2

•

1

2

(

1

1+2

-

1

2n+1+1

)．
由（ⅰ）知存在n₀∈N^*，當n≥n₀時，

1

2

(

1

1+2

-

1

2n+1+1

)＞

1

3a

，
故存在n₀∈N^*，當n≥n₀時，Tn=

a

2

•

1

2

(

1

1+2

-

1

2n+1+1

)＞

a

2

•

1

3a

=

1

6

，不滿足條件．（12分）
（ⅲ）當0＜a＜2時，∵n≥1，

an

2n

=(

a

2

)n≤

a

2

，∴an≤

a

2

•2n，
∴bn•an≤bn•

a

2

•2n=

a

2

•bn•2n．
∴Tn=

n

i=1

1

2

(biai)≤

n

i=1

a

2

(bi2i-1)=

a

2

•

1

2

(

1

1+2

-

1

2n+1+1

)．
取m=

a

12

∈(0，

1

6

)，若存在n₀∈N^*，當n≥n₀時，T_n＞m，
則

a

2

•

1

2

(

1

1+2

-

1

2n+1+1

)＞

a

12

．
∴

1

1+2

-

1

2n+1+1

＞

1

3

矛盾．故不存在n₀∈N^*，
當n≥n₀時，T_n＞m．不滿足條件．
綜上所述：只有a=2時滿足條件，故a=2．（14分）

點評：本題主要考查累加法求通項，裂項相消法求和，具體到一般分類討論等思想方法的運用．