Question

某廠在一個空間容積為2000m³的密封車間內生產某種化學藥品．開始生產后，每滿60分鐘會一次性釋放出有害氣體am³，并迅速擴散到空氣中．每次釋放有害氣體后，車間內的凈化設備隨即自動工作20分鐘，將有害氣體的含量降至該車間內原有有害氣體含量的r％，然后停止工作，待下一次有害氣體釋放后再繼續工作．安全生產條例規定：只有當車間內的有害氣體總量不超過1.25am³時才能正常進行生產．

(Ⅰ)當r＝20時，該車間能否連續正常生產6.5小時？請說明理由；

(Ⅱ)能否找到一個大于20的數據r，使該車間能連續正常生產6.5小時？請說明理由；

(Ⅲ)(本小題為附加題，如果解答正確，加4分，但全卷總分不超過150分)

已知該凈化設備的工作方式是：在向外釋放出室內混合氣體(空氣和有害氣體)的同時向室內放入等體積的新鮮空氣．已知該凈化設備的換氣量是200m³／分，試證明該設備連續工作20分鐘能夠將有害氣體含量降至原有有害氣體含量的20％以下．(提示：我們可以將凈化過程劃分成n次，且n趨向于無窮大．)

Answer 1

答案：
解析：

解(Ⅰ)∵第一次釋放有害氣體am3， 　　∴第二次釋放有害氣體后(凈化之前)，車間內共有有害氣體(a＋ar％)m3，第三次釋放有害氣體后(凈化之前)，車間內共有有害氣體[a＋(a＋ar％)r％]m3， 　　…… 　　∵6.5小時共釋放出6次有害氣體，且有害氣體的含量逐次遞增，　　∴要使該車間能連續正常生產，在最后一次釋放有害氣體后(凈化之前)，車間內有害氣體總量不得超過1.25am3， 　　即必須要有a＋ar％＋a(r％)2＋…＋a(r％)5≤1.25a， 　　即a·≤1.25a． 　　∵當r＝20時，＜＝＝1.25． 　　∴當r＝20時，該車間能連續生產6.5小時． 　　(Ⅱ)設r％＝0.2＋x(x＞0)滿足條件，　　即要有≤1.25， 　　即(0.2＋x)6≥1.25·x．(*) 　　∵(0.2＋x)6＝0.26＋6(0.2)5x＋……＞0.26＋6(0.2)5x， 　　要使(*)成立，只要0.26＋(0.2)5·16x－1.25x≥0即可， 　　∴可取x＝＞0，∴取r＝20＋100·，就可使該車間連續生產6.5小時． 　　(Ⅲ)設車間內原有有害氣體量為A，將20分鐘的凈化過程劃分成n次，則每次的換氣量為m3． 　　不妨假設換氣過程是先放入新鮮空氣再釋放混合氣體， 　　∵凈化后殘留的有害氣體量＝凈化前殘留的有害氣體量－被釋放混合氣體中所含有害氣體， 　　第一次凈化后殘留的有害氣體量為： 　　a1＝A－·＝A·； 　　第二次凈化后殘留的有害氣體量為： 　　a2＝a1－·＝a1·＝A；…… 　　第n次凈化后殘留的有害氣體量為：an＝A． 　　當n極大時，可將看作整數k， 　　∴A＝A， 　　∵＝1＋1＋＋＞2.5， 　　∴an＜A＜A， 　　∴20分鐘能夠將有害氣體含量降至原有有害氣體含量的20％以下．