Question

（2012•房山區二模）設定義在（0，+∞）上的函數f（x）滿足：①對于任意實數a，b都有f（ab）=f（a）+f（b）-5；②f（2）=4．則f（1）=

5

；若a_n=f（2ⁿ）（n∈N^*），數列{a_n}的前項和為S_n，則S_n的最大值是

10

．

Answer 1

分析：由①得f（1）=f（1）+f（1）-5，解出即得f（1）；多次用①可求得a_n表達式，由表達式易判斷該數列為等差數列，根據該等差數列的各項符號變化規律可求得S_n的最大值．

解答：解：由①得f（1）=f（1）+f（1）-5，即f（1）=5，
a_n=f（2ⁿ）=f（2×2^n-1）=f（2）+f（2^n-1）-5=f（2）+f（2×2^n-2）-5=2f（2）+f（2^n-2）-2×5=…=nf（2）-5（n-1）=4n-5（n-1）=-n+5，
易知數列{a_n}為首項為4，公差為-1的等差數列，
令a_n≥0，即-n+5≥0，解得n≤5，
所以數列{a_n}的前4項為正數，第5項為0，
故數列前4項、或前5項和最大，最大值為S4=S5=5×4+

5×4

2

×(-1)=10，
故答案為：5；10．

點評：本題考查函數恒等式、數列的求和，考查學生觀察分析能力、解決問題的能力．