Question

已知向量

m

=（1，1），

q

=（1，0），＜

n

，

p

＞=

π

2

且

m

•

n

=-1；若△ABC的內角A，B，C依次成等差數列，且A≤B≤C；
（1）若關于x的方程sin（2x+

π

3

）=

m

2

在[0，B]上有相異實根，求實數m的取值范圍；
（2）若向量

p

=（cosA，2cos²

C

2

），試求|

n

+

p

|的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由條件求得B=

π

3

，令y=sin（2x+

π

3

），由 x∈[0，

π

3

]求得y的值域，再由關于x的方程sin（2x+

π

3

）=

m

2

在[0，

π

3

]上有相異實根，所以y=sin（2x+

π

3

）∈[

3

2

，1 ），
由此求得

m

2

∈[

3

2

，1]，從而求得實數m的取值范圍．
（2）令

n

=（x，y），由條件

m

•

n

=-1可得x+y=-1．再由

q

=（1，0），＜

n

，

p

＞=

π

2

，求得以

n

 和

p

的坐標，可得|

n

+

p

|²=1+

1

2

cos（2A+

π

3

），再由A的范圍求出|

n

+

p

|的范圍．

解答：解：（1）∵2B=A+C 且A+B+C=π，∴B=

π

3

． 令y=sin（2x+

π

3

 ），x∈[0，

π

3

]，則 2x+

π

3

∈[

π

3

，π]，∴y=sin(2x+

π

3

)∈[0，1]．
∵關于x的方程sin（2x+

π

3

 ）=

m

2

 在[0，

π

3

]上有相異實根，所以y=sin（2x+

π

3

 ）∈[

3

2

，1 ），即

m

2

∈[

3

2

，1]
所以m∈[

3，

2)．
（2）令

n

=（x，y），∵

m

=（1，1），

m

•

n

=-1，所以x+y=-1．
又

q

=（1，0），＜

n

，

p

＞=

π

2

，所以

q

•

n

=0，即x=0，故y=-1，
所以

n

=（0，-1），

p

=（cosA，2cos² 

C

2

 ）=（cosA，1+cosC）．
所以|

n

+

p

|²=cos²A+cos²C=cos²A+cos²（

2π

3

- A）=1+

1

2

cos（2A+

π

3

 ）．
由A∈（0，

π

3

]，得2A+

π

3

∈（

π

3

，π]，得cos（2A+

π

3

 ）∈[-1，

1

2

 ），
∴|

n

+

p

|²∈[

1

2

，

5

4

 ），故|

n

+

p

|∈[

2

2

，

5

2

 ）．

點評：本題主要考查兩角和差的正弦公式，兩個向量的數量積的公式，正弦函數的定義域和值域，求向量的模，屬于中檔題．