Question

圓錐曲線G的一個(gè)焦點(diǎn)是F，與之對應(yīng)的準(zhǔn)線是，過F作直線與G交于A、B兩點(diǎn)，以AB為直徑作圓M，圓M與的位置關(guān)系決定G 是何種曲線之間的關(guān)系是：

 

圓M與的位置	相離	相切	相交
G 是何種曲線

Answer 1

分析：過A、B分別向相應(yīng)的準(zhǔn)線作垂線AA'，BB'，由第二定義得

|AF|+|BF|

2

=

|AA′|+|BB′|

2

 • e，r=de，0＜e＜1，此時(shí)r＜d，圓M與準(zhǔn)線相離； e=1，此時(shí)r=d，圓M與準(zhǔn)線相切；e＞1，此時(shí)r＞d，圓M與準(zhǔn)線相交．

解答：解：設(shè)圓錐曲線過焦點(diǎn)F的弦為AB，過A、B分別向相應(yīng)的準(zhǔn)線作垂線AA'，BB'，
則由第二定義得：|AF|=e|AA'|，|BF|=e|BB'|，∴

|AF|+|BF|

2

=

|AA′|+|BB′|

2

 • e．
設(shè)以AB為直徑的圓半徑為r，圓心到準(zhǔn)線的距離為d，即有r=de，
橢圓的離心率  0＜e＜1，此時(shí)r＜d，圓M與準(zhǔn)線相離；拋物線的離心率 e=1，此時(shí)r=d，圓M與準(zhǔn)線相切；
雙曲線的離心率 e＞1，此時(shí)r＞d，圓M與準(zhǔn)線相交．
故答案為：橢圓、拋物線、雙曲線．

點(diǎn)評：本題考查圓錐曲線的第二定義，梯形的中位線的性質(zhì)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，得到r=de 是解題的關(guān)鍵點(diǎn)．