Question

設非零復數x，y滿足　x²+xy+y²=0，則代數式　（

x

x+y

）²⁰⁰⁵+（

y

x+y

）²⁰⁰⁵的值是

 

．

Answer 1

分析：將已知方程變形解得

x

y

= -

1

2

 ±

3

2

i=ω，利用ω³=1，1+ω=-ω²，及2005=3×668+1 化簡原式可得答案．

解答：解：將已知方程變形為　(

x

y

)2+

x

y

=1，解這個一元二次方程，得

x

y

= -

1

2

 ±

3

2

i=ω，
顯然有ω³=1，1+ω=-ω²，而 2005=3×668+1，
則原式=（

x

x+y

）²⁰⁰⁵+（

y

x+y

）²⁰⁰⁵ =

ω2005

(1+ω )2005

+

1

(1+ω )2005

=

ω

(-ω2)2005

+

1

(-ω2)2005

=

1+ω

-ω2

=1，
故答案為1．

點評：本題考查復數乘法的棣莫弗公式的應用，實系數一元二次方程在判別式小于0時的解法．