Question

已知a＞0，b＞0，n＞1，n∈N^*．用數學歸納法證明：

an+bn

2

≥(

a+b

2

)n．

Answer 1

分析：用數學歸納法證明分為兩個步驟，第一步，先證明當當n=2時，左邊=右邊，第二步，先假設當n=k（k∈N^*，k＞1）時，不等式成立，利用此假設證明當n=k+1時，結論也成立即可．

解答：證明：（1）當n=2時，左邊-右邊=

a2+b2

2

-(

a+b

2

)2=(

a-b

2

)2≥0，不等式成立．（2分）
（2）假設當n=k（k∈N^*，k＞1）時，不等式成立，即

ak+bk

2

≥(

a+b

2

)k．（4分）
因為a＞0，b＞0，k＞1，k∈N^*，
所以（a^k+1+b^k+1）-（a^kb+ab^k）=（a^k-b^k）（a-b）≥0，于是a^k+1+b^k+1≥a^kb+ab^k．（6分）
當n=k+1時，(

a+b

2

)k+1=(

a+b

2

)k•

a+b

2

≤

ak+bk

2

•

a+b

2

=

ak+1+bk+1+akb+abk

4

≤

ak+1+bk+1+ak+1+bk+1

4

=

ak+1+bk+1

2

．
即當n=k+1時，不等式也成立．（9分）
綜合（1），（2）知，對于a＞0，b＞0，n＞1，n∈N^*，不等式

an+bn

2

≥(

a+b

2

)n總成立．
（11分）

點評：本題主要考查數學歸納法，數學歸納法的基本形式
設P（n）是關于自然數n的命題，若1°P（n₀）成立（奠基）
2°假設P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（歸納），則P（n）對一切大于等于n₀的自然數n都成立