Question

已知R為實數集，Q為有理數集．設函數f(x)=

0，(x∈CRQ) 1，(x∈Q)

，則（　　）

• A、函數y=f（x）的圖象是兩條平行直線
• B、

  lim

  x→∞

  f(x)=0或

  lim

  x→∞

  f(x)=1
• C、函數f[f（x）]恒等于0
• D、函數f[f（x）]的導函數恒等于0

Answer 1

分析：根據分段函數的圖象性質可知函數y=f（x）的圖象是兩條平行直線上的一些孤立的點，可判定A的真假，函數在∞處左右極限不等，則該函數不存在極限，可判定B的真假，若x是無理數，則f（x）=0，f[f（x）]=f（0）=1可判定C的真假，根據f[f（x）]=1可判定D的真假．

解答：解：函數y=f（x）的圖象是兩條平行直線上的一些孤立的點，故A不正確；
函數f（x）的極限只有唯一的值，左右極限不等，則該函數不存在極限，故B不正確；
若x是無理數，則f（x）=0，f[f（x）]=f（0）=1，故C不正確；
∵f[f（x）]=1，∴函數f[f（x）]的導函數恒等于0，故D正確；
故選D．

點評：本題主要考查了分段函數，以及函數極限、圖象、導數等有關問題，屬于中檔題．