設F₁、F₂分別為橢圓C：＝1(a＞b＞0)的左、右兩個焦點．

(1)若橢圓C上的點A(1，)到F₁、F₂兩點的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標；

(2)設點K是(1)中所得橢圓上的動點，求線段F₁K的中點的軌跡方程；

(3)已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時，那么k_PM與k_PN之積是與點P位置無關的定值，試寫出雙曲線＝1具有類似特性的性質并加以證明．

答案：
解析：

　　解：(1)橢圓C的焦點在x軸上，由橢圓上的點A到F₁、F₂兩點的距離之和是4，得2a＝4，即a＝2．

　　又點A(1，)在橢圓上，因此＝1，b²＝3．

　　∴c²＝a²－b²＝1．

　　∴橢圓C的方程為＝1，焦點F₁(－1，0)，F₂(1，0)．

　　(2)設橢圓C上的動點為K(x₁，y₁)，線段F₁K的中點Q(x，y)滿足：x＝，y＝，

　　∴x₁＝2x＋1，y₁＝2y．

　　∴＝1，即()²＋＝1為所求的軌跡方程．

　　(3)類似的性質為：若M、N是雙曲線＝1上關于原點對稱的兩個點，點P是雙曲線上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時，那么k_PM與k_PN之積是與點P位置無關的定值．設點M的坐標為(m，n)，則點N的坐標為(－m，－n)，其中＝1．

　　又設點P的坐標為(x，y)，

　　由k_PM＝，k_PN＝得k_PM·k_PN＝．

　　將y²＝，n²＝代入，得k_PM·k_PN＝．

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