Question

對于函數，給出下列四個命題：
①存在，使； 
②存在，使f（x-α）=f（x+α）恒成立；
③存在φ∈R，使函數f（x+ϕ）的圖象關于坐標原點成中心對稱；
④函數f（x）的圖象關于直線對稱；
⑤函數f（x）的圖象向左平移就能得到y=-2cosx的圖象
其中正確命題的序號是    ．

Answer 1

【答案】分析：利用輔助角公式，我們可將函數f（x）的解析式化為正弦型函數的形式，由正弦型函數的值域，可以判斷①的真假；根據正弦型函數的周期性，可以判斷②的真假；根據正弦函數的對稱性，可以判斷③④的真假；根據正弦型函數的圖象的平移變換法則，及誘導公式，可以判斷⑤的真假，進而得到答案．
解答：解：∵=2sin（x+）
當時，α+∈（-，），此時f（α）∈（-，），故①錯誤；
若f（x-α）=f（x+α）恒成立，則2α為函數的一個周期，則2α=2kπ，k∈N*，即α=kπ，k∈N*，故②錯誤；
存在φ=-+kπ，k∈Z，使函數f（x+ϕ）的圖象關于坐標原點成中心對稱，故③正確；
函數圖象的對稱軸為x=+kπ，k∈Z，當k=-1時，，故④正確；
函數f（x）的圖象向左平移后得到y=2sin（x++）=2sin（x+）=2cosx的圖象，故⑤錯誤；
故答案為：③④
點評：本題考查的知識點是函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，函數y=Asin（ωx+φ）的值域，函數y=Asin（ωx+φ）的對稱性，熟練掌握函數y=Asin（ωx+φ）的圖象和性質是解答本題的關鍵．