Question

設函數f(x) ＝x³－6x＋5，xR.

(1)求函數f(x)的單調區間和極值；
(2)若關于x的方程f(x)＝a有三個不同實根，求實數a的取值范圍；
(3)已知當x(1，＋)時，f(x)≥k(x－1)恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

解：(1)f '(x)＝3x²－6，令f '(x)＝0，解得x₁＝－，x₂＝.
因為當x>或x<－時，f '(x)>0；
當－<x<時，f '(x)<0.
所以f(x)的單調遞增區間為(－，－)和(，＋)；單調減區間為(－，)．
當x＝－時，f(x)有極大值5＋4；
當x＝時，f(x)有極小值5－4.
(2)由(1)的分析知y＝f(x)的圖象的大致形狀及走向如圖所示，
當5－4<a<5＋4時，直線y＝a與y＝f(x)的圖象有三個不同交點，
即方程f(x)＝a有三個不同的解．
(3)f(x)≥k (x－1)，即(x－1)(x²＋x－5)≥k(x－1)．
因為x>1，所以kx²＋x－5在(1，＋)上恒成立．
令g(x)＝x²＋x－5，此函數在(1，＋)上是增函數．
所以g(x)>g(1)＝－3.
所以k的取值范圍是k－3.