Question

（2009湖南卷文）（本小題滿分13分）

   已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，以兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)

為頂點(diǎn)的四邊形是一個(gè)面積為8的正方形（記為Q）.

（Ⅰ）求橢圓C的方程;

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C的左準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn)，當(dāng)線段MN的中點(diǎn)落在正方形Q內(nèi)（包括邊界）時(shí)，求直線的斜率的取值范圍。

Answer 1

解析: （Ⅰ）依題意，設(shè)橢圓C的方程為焦距為，

由題設(shè)條件知， 所以

          故橢圓C的方程為     .

（Ⅱ）橢圓C的左準(zhǔn)線方程為所以點(diǎn)P的坐標(biāo)，

顯然直線的斜率存在，所以直線的方程為。               

    如圖，設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為線段MN的中點(diǎn)為G，

     

      由得.           ……①

由解得.    ……②

因?yàn)?IMG height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090629/20090629145011020.gif' width=36>是方程①的兩根，所以，于是

             =，     .

因?yàn)?IMG height=44 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090629/20090629145011025.gif' width=115>，所以點(diǎn)G不可能在軸的右邊，

又直線,方程分別為

所以點(diǎn)在正方形內(nèi)（包括邊界）的充要條件為

 即  亦即                

解得，此時(shí)②也成立.

故直線斜率的取值范圍是