Question

已知點(diǎn)P在曲線C：上，曲線C在點(diǎn)P處的切線與函數(shù)y=kx（k＞0）的圖象交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為x_A、x_B，記f（t）=x_A•x_B．
（1）求f（t）的解析式；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}滿足，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）在 （2）的條件下，當(dāng)1＜k＜3時(shí)，證明不等式．

Answer 1

解：（1）∵y=，
∴，
∴切線方程為，
與y=kx聯(lián)立得：，令y=0，得：x_B=2t，
∵f（t）=x_A•x_B，
∴（k＞0，t＞1）．
（2）由得：，
=，
設(shè)，
則=，
∵a₁=1，
∴①當(dāng)k=3時(shí)，，
∴{b_n}是以0為首項(xiàng)的常數(shù)數(shù)列，
∴a_n=1．
②當(dāng)k≠3時(shí)，{b_n}是以1-為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
∴，
解得，
由①②，得．
（3）∵
=
=，
∵1＜k＜3，
∴，
∴
=（）+（）+…+（）
=
=
＞
=，
∵1＜k＜3，
∴＞0．
∴．
分析：（1）由y=，求出切線方程為，與y=kx聯(lián)立得：，x_B=2t，再由f（t）=x_A•x_B，能求出f（t）的解析式．
（2）由得：，=，設(shè)，則=，由此導(dǎo)出，解得．
（3）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/75372.png' />=，由1＜k＜3，知，所以=（）+（）+…+（）=＞
=＞0，由此能夠證明．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，綜合性強(qiáng)，難度大，容易出錯(cuò)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．