Question

【題目】已知函數.

（1）判斷函數的奇偶性；

（2）對任意兩個實數，求證：當時， ；

（3）對任何實數， 恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數為上的奇函數；（2）證明見解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）根據函數奇偶性的定義判斷函數的奇偶性即可，(2)根據題意有兩種情形：①若，②，求出的表達式，根據函數的性質證明即可；（3）根據函數的單調性問題轉化為，換元后，根據二次函數的性質求出，即可得的取值范圍.

試題解析：

（1）任取，則，

，

任取，則，

，

又，所以對于任意的，均有，

所以函數為上的奇函數.

（2）任取，當時，（不妨令），

有下列兩種情形：（1）若，

則；

（2）若，則，

因為，所以，

所以，即.

（3）由（1）（2）得：

對任意兩個實數，當時， ，

則對任意兩個實數，當時， ，

所以函數為上的單調遞增函數，

即為，

所以.

所以原題意等價于對于任何實數恒成立，

只需，而，

所以.