Question

如圖某市現有自市中心O通往正西和北偏東30°方向的兩條主要公路，為了解決該市交通擁擠問題，市政府決定修建一條環城公路．分別在通往正西和北偏東30°方向的公路上選用A、B兩點，使環城公路在A、B間為直線段，要求AB路段與市中心O的距離為10 km，且使A、B間的距離|AB|最小．請你確定A、B兩點的最佳位置．

Answer 1

如圖，令|OA|＝a，|OB|＝b，則在△AOB中，∠AOB＝120°．…………………………………………2分

∴|OC||AB|＝absin120°．

∴|AB|＝．　　　①  …………………4分

又由余弦定理，

|AB|＝=

≥＝，（當a＝b時取等號．）　　　②      ……………6分

由①②知≥3ab．                                

∵ab＞0，

∴ab≥400　　　③    …………………………………………………8分

③代入①得|AB|＝≥20．

當a＝b時|AB|取得最小值．…………………………………………………………10分

而a＝b時，△AOB為等腰三角形，

∴∠OAB＝∠OBA＝30°．

∴a＝b＝20．

∴A、B兩點的最佳位置是距市中心O均為20km處． ……………………………12分