Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=2CD=2，PB=PC，側面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中點．
（1）求證：PO⊥平面ABCD；
（2）求證：PA⊥BD
（3）若二面角D-PA-O的余弦值為

10

5

，求PB的長．

Answer 1

分析：（1）由已知中，PB=PC，O是BC的中點，由等腰三角形“三線合一”的性質，可得PO⊥BC，結合側面PBC⊥底面ABCD，由面面垂直的性質定理可得PO⊥平面ABCD；
（2）以點O為坐標原點，建立空間直角坐標系O-xyz，設OP=t，分別求出直線PA與BD的方向向量，根據兩個向量的數量積為0，即可得到PA⊥BD
（3）分別求出平面DPA與平面PAO的法向量，根據二面角D-PA-O的余弦值為

10

5

，代入向量夾角公式，構造關于t的方程，解方法即可得到PB的長．

解答：解：（1）證明：因為PB=PC，O是BC的中點，
所以PO⊥BC，
又側面PBC⊥底面ABCD，PO?平面PBC，
面PBC∩底面ABCD=BC，
所以PO⊥平面ABCD．…（4分）
（2）證明：以點O為坐標原點，建立如圖空間直角坐標系O-xyz，
設OP=t（t＞0），則P（0，0，t），A（1，2，0），B（1，0，0），D（-1，1，0），

PA

=（1，2，-t），

BD

=（-2，1，0），
因為

PA

•

BD

=0，所以

PA

⊥

BD

，
即PA⊥BD．…（8分）
（3）設平面PAD和平面PAO的法向量分別為

m

=（a，b，c），

n

=（x，y，z），
注意到

PD

=（-1，1，-t），

OA

=（1，2，0），

OP

=（0，0，t），
由

m • PD =-a+b-tc=0 m • PA =a+2b-tc=0

，令a=1得，

m

=（1，-2，-

3

t

），
由

n • OA =x+2y=0 n • OP =tz=0

令y=-1得，

n

=（2，-1，0），
所以cos60°=

m • n

| m |•| n |

=

4

5+ 9 t2 - 5

=

10

5

，
解之得t=

3

，所以PB=

OP2+OB2

=2為所求．…（12分）

點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，直線與平面垂直的判定，向量語言表述線線的垂直、平行關系，其中（1）的關鍵是熟練掌握空間線線垂直、線面垂直及面面垂直之間的相互轉化，（2），（3）的關鍵是建立空間坐標系，將空間中直線與平面之間的關系及夾角轉化為向量的夾角．