Question

已知{a_n}是等差數列，d為公差且不為0，a₁和d均為實數，它的前n項和記作S_n，設集合A={（a_n，

Sn

n

）|n∈N^*}，B={（x，y）|

1

4

x²-y²=1，x，y∈R}．試問下列結論是否正確，如果正確，請給予證明；如果不正確，請舉例說明：
（1）若以集合A中的元素作為點的坐標，則這些點都在同一條直線上；
（2）A∩B至多有一個元素；
（3）當a₁≠0時，一定有A∩B≠∅．

Answer 1

分析：（1）在等差數列中，寫出數列的前n項和的公式，表達出集合中的元素，得到點的坐標適合直線的方程．
（2）列出方程組，利用消元法求出方程組的解，驗證這個方程組只有一個解，得到這個集合至多有一個元素．
（3）驗證當首項為1，公差為1時，集合A中的元素作為點的坐標，其橫、縱坐標均為正，由于a₁=1≠0，如果A∩B≠∅，根據（2）的結論，A∩B至多有一個元素（x₀，y₀），當a₁≠0時，一定有A∩B≠∅是不正確的．

解答：解：（1）在等差數列{a_n}中，對一切n∈N^*，有S_n=

n(a1+an)

2

，則

sn

n

=

1

2

(a1+an)
這表明點（a_n，

sn

n

）適合方程y=

1

2

（x+a₁），
于是點（a_n，

sn

n

）均在直線y=

1

2

x+

1

2

a₁上．
（2）設（x，y）∈A∩B，
則x，y是方程組

y= 1 2 x+ 1 2 a1 1 4 x2-y2 =1

的解，
由方程組消去y得2a₁x+a₁²=-4，
當a₁=0時，方程2a₁x+a₁²=-4無解，
此時A∩B=∅；
當a₁≠0時，
方程2a₁x+a₁²=-4只有一個解x=

-4-a12

2a1

此時，方程組只有一解，
故上述方程組至多有解

x= -4-a12 2a1 y= a12-4 4a1

，
∴A∩B至多有一個元素．
（3）取a₁=1，d=1，對一切的n∈N^*，
有a_n=a₁+（n-1）d=n＞0，

sn

n

＞0，
這時集合A中的元素作為點的坐標，其橫、縱坐標均為正，
另外，由于a₁=1≠0，如果A∩B≠∅，
那么根據（2）的結論，A∩B至多有一個元素（x₀，y₀），
而x₀=

-4-a12

2a1

=-

5

2

＜0，y₀=

a12-4

4a1

=-

3

4

＜0，這樣的（x₀，y₀）∉A，產生矛盾，故a₁=1，d=1時，A∩B=∅，
∴當a₁≠0時，一定有A∩B≠∅是不正確的．

點評：本題考查解析幾何與數列的綜合題目，這是一個中檔題目，對于數列的應用考查的比較多，這種題目可以作為高考卷的壓軸題目出現，題目中對于最后一問的證明要注意應用前面的結論．