Question

已知函數f(x)=x-

1

x

．
（1）討論并證明函數f（x）在區間（0，+∞）的單調性；
（2）若對任意的x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用單調性的定義，根據步驟：取值，作差，變形，定號下結論，即可得到結論；
（2）原不等式等價于2mx-

1

mx

-

m

x

＜0對任意的x∈[1，+∞）恒成立，等價于2mx2-m-

1

m

＜0對任意的x∈[1，+∞）恒成立，從而可得m＜0，且2m-m-

1

m

＜0，進而可求實數m的取值范圍．

解答：解：（1）函數f（x）在（0，+∞）上單調增
證明：任取0＜x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=(x1-

1

x1

)-(x2-

1

x2

)=(x1-x2)(1+

1

x1x 2

)，
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0
∴(x1-x2)(1+

1

x1x 2

)＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
所以函數f（x）在（0，+∞）上單調增
（2）原不等式等價于2mx-

1

mx

-

m

x

＜0對任意的x∈[1，+∞）恒成立
整理得，2mx2-m-

1

m

＜0對任意的x∈[1，+∞）恒成立
若m＞0，則左邊對應的函數，開口向上，故x∈[1，+∞）時，必有大于0的函數值
∴m＜0，且2m-m-

1

m

＜0，
∴m＜0，且

m2-1

m

＜0
∴m＜-1

點評：本題重點考查函數的單調性，考查函數恒成立問題，依據單調性的定義，正確轉化是解題的關鍵．