Question

【題目】如圖1，與是處在同-個平面內(nèi)的兩個全等的直角三角形，，，連接是邊上一點(diǎn)，過作，交于點(diǎn)，沿將向上翻折，得到如圖2所示的六面體

（1）求證：

（2）設(shè)若平面底面，若平面與平面所成角的余弦值為，求的值；

（3）若平面底面，求六面體的體積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（3）

【解析】

根據(jù)折疊圖形， ，由線面垂直的判定定理可得平面，再根據(jù)平面，得到.

（2）根據(jù)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)，可知，，表示相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求得平面與平面的法向量，代入求解.

設(shè)所求幾何體的體積為，設(shè)為高，則，表示梯形BEFD和 ABD的面積由，再利用導(dǎo)數(shù)求最值.

（1）證明：不妨設(shè)與的交點(diǎn)為與的交點(diǎn)為

由題知，，則有

又，則有

由折疊可知所以可證

由平面平面，

則有平面

又因?yàn)?/span>平面，

所以....

（2）解：依題意，有平面平面，

又平面，

則有平面，，又由題意知，

如圖所示：

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

由題意知

由可知，

則

則有，

，

設(shè)平面與平面的法向量分別為

則有

則

所以

因?yàn)?/span>，解得

設(shè)所求幾何體的體積為，設(shè)，

則，

當(dāng)時，，當(dāng)時，

在是增函數(shù)，在上是減函數(shù)

當(dāng)時，有最大值，

即

六面體的體積的最大值是