Question

（本題滿分14分）已知函數 
（1）若函數在區間上存在極值，其中a >0，求實數a的取值范圍；
（2）如果當時，不等式恒成立，求實數k的取值范圍；
（3）求證:。

Answer 1

(1)
(2)
(3)略

（2）不等式即為 記
所以           …………  6分
令，則， ，在上單調遞增，                            
，從而， 故在上也單調遞增，…………   8分                       
所以，所以 .                    ………… 9分
（3）由（2）知：恒成立，即，
令，則，              ………… 11分
所以 ,
，
，
…  …  
，                              
疊加得：
=n-2(1-)＞n-2+＞n-2 .          ………… 13分
則，所以[(n+1)!]²＞(n+1).e^n-2(n∈N^*)…………  14分