Question

如圖，點B在以PA為直徑的圓周上，點C在線段AB上，已PA=5，PB=3，PC=

15 2

7

，設∠APB=α，∠APC=β，α，β均為銳角．
（1）求β；
（2）求向量

AC

，

PC

的數量積

AC

•

PC

的值．

Answer 1

分析：（1）據圓周角為直角，通過解直角三角形及兩角和的余弦公式及正余弦的平方公式求出α，α-β的正切，求出β的正切得角β．
（2）將未知向量

AC

用已知向量

PC

，

PA

表示，利用向量的分配律求出數量積．

解答：解：（1）：因為點B在以PA為直徑的圓周上，所以∠ABP=90°，
所以cosα=

PB

PA

=

3

5

，sinα=

4

5

．
所以tanα=

4

3

，
cos∠CPB=cos(α-β)=

PB

PC

=

3

15 2 7

=

7 2

10

，sin(α-β)=

2

10

，
所以tan(α-β)=

1

7

，
tanβ=tan[α-(α-β)]=

tanα-tan(α-β)

1+tanαtan(α-β)

=1，
又β∈(0，

π

2

)，所以β=

π

4

．
（2）

AC

•

PC

=(

PC

-

PA

)•

PC

=

PC

2-

PA

•

PC

=(

15 2

7

)2-5×

15 2

7

×

2

2

=-

75

49

故答案為β=

π

4

；

AC

•

PC

=-

75

49

點評：本題考查解直角三角形；通過三角函數值求角；平面向量的基本定理；向量數量積的運算律等．