Question

（本小題滿分共12分）已知函數f(x)＝x²＋ax＋b，g(x)＝e^x(cx＋d)，若曲線y＝f(x)和曲線y＝g(x)都過點P(0，2)，且在點P處有相同的切線y＝4x+2

（Ⅰ）求a，b，c，d的值

（Ⅱ）若x≥－2時，f(x)≤kg(x)，求k的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）因為曲線y＝f(x)和曲線y＝g(x)都過點P(0，2)，所以b=d=2；因為，故；，故，故；所以，；

（2）令，則，由題設可得，故，令得，

（1）若，則，從而當時，，當時，即在上最小值為，此時f(x)≤kg(x)恒成立；

（2）若，，故在上單調遞增，因為所以f(x)≤kg(x)恒成立

（3）若，則，故f(x)≤kg(x)不恒成立；

綜上所述k的取值范圍為.

【解析】（1）利用導數的幾何意義進行求解；（2）構造函數“”，對k的取值范圍進行分類討論，進而得到答案.

【考點定位】本題考查導數的幾何意義、導數與函數的最值、導數與函數的單調性，考查學生的分類討論能力以及化歸與轉化思想.