Question

【題目】定義域為的函數滿足，當時，.若時，恒成立，則實數的取值范圍是（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

由f（x+2）=2f（x）-1，求出x∈（2，3），以及x∈[3，4]的函數的解析式，分別求出（0，4]內的四段的最小值和最大值，注意運用二次函數的最值和函數的單調性，再由恒成立即為，，解不等式即可得到所求范圍

當x∈(2,3),則x2∈(0,1)，

則f(x)=2f(x2)1=2(x2)22(x2)1，

即為f(x)=2x210x+11，

當x∈[3，4]，則x2∈[1，2]，

則f(x)=2f(x2)1=.

當x∈(0,1)時,當x=時,f(x)取得最小值,且為；

當x∈[1,2]時,當x=2時,f(x)取得最小值,且為；

當x∈(2,3)時,當x=時,f(x)取得最小值,且為；

當x∈[3,4]時,當x=4時,f(x)取得最小值，且為0.

綜上可得,f(x)在(0,4]的最小值為.

若x∈(0,4]時, 恒成立，

則有.

解得.

當x∈(0,2)時,f(x)的最大值為1,

當x∈(2,3)時,f(x)∈[,1)，

當x∈[3,4]時,f(x)∈[0,1]，

即有在(0,4]上f(x)的最大值為1.

由，即為，解得，

綜上，即有實數t的取值范圍是.

故選：C.