Question

關于函數，有下列命題：
①其表達式可寫成；
②直線圖象的一條對稱軸；
③f（x）的圖象可由g（x）=sin2x的圖象向右平移個單位得到；
④存在α∈（0，π），使f（x+α）=f（x+3α）恒成立
則其中真命題為（ ）
A．②③
B．①②
C．②④
D．③④

Answer 1

【答案】分析：①將兩函數解析式化簡整理，若表示同一個函數，則①正確，否則錯誤．
②若時，f（x）取得最值，則②正確．否則錯誤．
③根據左加右減原則，寫出平移后圖象對應的解析式，進行對照可以斷定正誤
④考慮先取特殊值，比如取α=等進行驗證．
解答：解：=（sin2x-cos2x）．
=（cos2x-sin2x）．與原函數不為同一個函數，①錯誤．
②時，f（x）=sin[2×（）-]=sin（-）=-1，函數取得最小值，所以直線圖象的一條對稱軸．②正確
③將g（x）=sin2x的圖象向右平移個單位得到，得到圖象對應的解析式是y=sin2（x-）=sin（2x-）=-cos2x，與f（x）不為同一個函數．③錯誤．
④取α=，f（x+α）=f（x+）==sin（2x+），f（x+3α）=f（x+3• ）==sin（2x+3π-）=sin（2x+2π+π-）=sin（2x+），
所以存在取α=∈（0，π），使f（x+α）=f（x+3α）恒成立． ④正確．
故選C．
點評：本題考查三角函數圖象性質，三角函數式的化簡，三角函數圖象變換．在圖象平移變換中，針對的是x的變化，③中，平移后相位應由2x變化為2（x-）即為2x-，而不是2x-．