Question

已知f（x）=

log

(4x+1) 4

+kx是偶函數，其中x∈R，且k為常數．
（1）求k的值；
（2）記g（x）=4^f（x）求x∈[0，2]時，函數個g（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）由函數f（x）=

log

(4x+1) 4

+kx是偶函數，根據偶函數的定義f（-x）=f（x），得到一個恒等式，利用對應系數相等，求得k的值；
（2）把（1）求得的f（x）代入g（x）中，利用函數的單調性求得函數的最大值．

解答：解：（1）由函數f（x）=

log

(4x+1) 4

+kx是偶函數，
可知f（-x）=f（x），
即

log

(4x+1) 4

+kx=

log

(4-x+1) 4

-kx
即

log	4x+1 4-x+1 4

=-2kx∴

log

4x 4

=-2kx，
即x=-2kx對x∈恒成立，
∴k=-

1

2

（2）g（x）=

4x+1

2x

=2x+

1

2x

∵x∈[0，2]，∴1≤2^x≤4
∴g（x）在區間[0，2]上單調遞增
∴g（x）_max=

9

4

點評：此題考查函數的奇偶性和對數的運算性質，及利用函數的單調性求函數的最值，體現了換元的思想方法．屬中檔題．