Question

（2013•黃浦區二模）已知數列{a_n}具有性質：①a₁為整數；②對于任意的正整數n，當a_n為偶數時，an+1=

an

2

；當a_n為奇數時，an+1=

an-1

2

．
（1）若a₁=64，求數列{a_n}的通項公式；
（2）若a₁，a₂，a₃成等差數列，求a₁的值；
（3）設a1=2m-3（m≥3且m∈N），數列{a_n}的前n項和為S_n，求證：Sn≤2m+1-m-5．（　　）

Answer 1

分析：（1）由a1=64=26，可得{a_n}的前7項成等比數列，從第8起數列的項均為0，從而利用分段函數的形式寫出數列{a_n}的通項公式即可；
（2）對a₁進行分類討論：若a₁=4k（k∈Z）時；若a₁=4k+1（k∈Z）時；若a₁=4k+2（k∈Z）時；若a₁=4k+3（k∈Z）時，結合等差數列的性質即可求出a₁的值；
（3）由a1=2m-3（m≥3），可得a₂，a₃，a₄．若ak=2t-1(t∈N*)，則a_k是奇數，可得當3≤n≤m+1時，an=2m-n+1-1成立，又當n≤m時，a_n＞0；當n≥m+1時，a_n=0．故對于給定的m，S_n的最大值為2^m+1-m-5，即可證出結論．

解答：解：（1）由a1=64=26，可得a2=25，a3=24，…，a6=21，a7=20，a8=

1-1

2

=0，a₉=0，…，
即{a_n}的前7項成等比數列，從第8起數列的項均為0．　　  …（2分）
故數列{a_n}的通項公式為an=

27-n，(1≤n≤7，n∈N) 0，(n≥8，n∈N)

．　       …（4分）
（2）若a₁=4k（k∈Z）時，a2=

a1

2

=2k，a3=

a2

2

=k，
由a₁，a₂，a₃成等差數列，可知即2（2k）=k+4k，解得k=0，故a₁=0；
若a₁=4k+1（k∈Z）時，a2=

a1-1

2

=2k，a3=

a2

2

=k，
由a₁，a₂，a₃成等差數列，可知2（2k）=（4k+1）+k，解得k=-1，故a₁=-3；…（7分）
若a₁=4k+2（k∈Z）時，a2=

a1

2

=2k+1，a3=

a2-1

2

=k，
由a₁，a₂，a₃成等差數列，可知2（2k+1）=（4k+2）+k，解得k=0，故a₁=2；
若a₁=4k+3（k∈Z）時，a2=

a1-1

2

=2k+1，a3=

a2-1

2

=k，
由a₁，a₂，a₃成等差數列，可知2（2k+1）=（4k+3）+k，解得k=-1，故a₁=-1；
∴a₁的值為-3，-1，0，2．                              　  …（10分）
（3）由a1=2m-3（m≥3），可得a2=

a1-1

2

=2m-1-2，a3=

a2

2

=2m-2-1，a4=

a3-1

2

=2m-3-1，
若ak=2t-1(t∈N*)，則a_k是奇數，從而ak+1=

ak-1

2

=

2t-1-1

2

=2t-1-1，
可得當3≤n≤m+1時，an=2m-n+1-1成立．                …（13分）
又am+1=20-1=0，a_m+2=0，…
故當n≤m時，a_n＞0；當n≥m+1時，a_n=0．            …（15分）
故對于給定的m，S_n的最大值為a₁+a₂+…+a_m=（2^m-3）+（2^m-1-2）+（2^m-2-1）+（2^m-3-1）+…+（2¹-1）=（2^m+2^m-1+2^m-2+…+2¹）-m-3=2^m+1-m-5，
故Sn≤2m+1-m-5．                                    …（18分）

點評：本小題主要考查等差數列的性質、等比數列的性質、數列與函數的綜合等基本知識，考查分析問題、解決問題的能力．