Question

已知橢圓

x2

4

+y2=1的左、右兩個頂點分別為A，B，直線x=t（-2＜t＜2）與橢圓相交于M，N兩點，經過三點A，M，N的圓與經過三點B，M，N的圓分別記為圓C₁與圓C₂．
（1）求證：無論t如何變化，圓C₁與圓C₂的圓心距是定值；
（2）當t變化時，求圓C₁與圓C₂的面積的和S的最小值．

Answer 1

分析：（1）由題設知A的坐標（-2，0），B的坐標（2，0），M的坐標(t，

4-t2

2

)，N的坐標(t，-

4-t2

2

)，線段AM的中點P(

t-2

2

，

4-t2

4

)，由此能夠推導出無論t如何變化，為圓C₁與圓C₂的圓心距是定值．
（2）圓C₁的半徑為|AC₁|=

3t+10

8

，圓C₂的半徑為|BC2|=

10-3t

8

，則S=π|AC1|2+π|BC2|2=

π

32

(9t2+100)（-2＜t＜2）
由此能夠求出圓C₁與圓C₂的面積的和S的最小值．

解答：解：（1）易得A的坐標（-2，0），B的坐標（2，0），
M的坐標(t，

4-t2

2

)，N的坐標(t，-

4-t2

2

)，線段AM的中點P(

t-2

2

，

4-t2

4

)，
直線AM的斜率k1=

4-t2 2

t+2

=

1

2

2-t 2+t

（3分）
又PC₁⊥AM，∴直線PC₁的斜率k2=-2

2+t 2-t

∴直線PC₁的方程y=-2

2+t 2-t

(x-

t-2

2

)+

4-t2

4

，∴C₁的坐標為(

3t-6

8

，0)
同理C₂的坐標為(

3t+6

8

，0)（7分）∴|C1C2|=

3

2

，
即無論t如何變化，為圓C₁與圓C₂的圓心距是定值．（9分）
（2）圓C₁的半徑為|AC₁|=

3t+10

8

，圓C₂的半徑為|BC2|=

10-3t

8

，
則S=π|AC1|2+π|BC2|2=

π

32

(9t2+100)（-2＜t＜2）
顯然t=0時，S最小，Smin=

25π

8

．（14分）

點評：本題考查圓錐曲線和直線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．