Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩焦點F₁、F₂和短軸的兩端點B₁、B₂正好是一正方形的四個頂點，且焦點到橢圓上一點的最近距離為

2

-1．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設P是橢圓上任一點，MN是圓C：x²+（y-2）²=1的任一條直徑，求

PM

•

PN

的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意知b=c，a-c=

2

-1可求得a，c和b的值，進而橢圓的方程可得．
（2）根據

PM

•

PN

=(

PC

+

CM

)•(

PC

+

CN

)═

PC

2-1從而只需求出|

PC

|的最大值，設P（x₀，y₀）代入橢圓方程可得x₀和y₀，的關系式，再根據C點坐標求得

PC

關于y₀的關系式，進而根據的范圍求得

PC

的范圍，進而求得

PM

•

PN

的最大值．

解答：解：（1）由題意知b=c，a-c=

2

-1，解得a=

2

，c=b=1，
故橢圓的標準方程為

x2

2

+y2=1．
（2）

PM

•

PN

=(

PC

+

CM

)•(

PC

+

CN

)=(

PC

+

CM

)•(

PC

-

CM

)=

PC

2-1
從而只需求出|

PC

|的最大值
設P（x₀，y₀），
則有

x02

2

+y02=1，
即有x₀²=2-2y₀²，又C（0，2），
所以

PC

2=

x

2 0

+(y0-2)2=-(y0+2)2+10，
而y₀∈[-1，1]，
所以y₀=-1時，

PC

2最大值為9，
故

PM

•

PN

的最大值為8．

點評：本題主要考查了橢圓的性質．屬基礎題．