Question

如圖，已知A、B為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)和雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的公共頂點，P、Q分別為雙曲線和橢圓上不同于A、B的動點，且

OP

=λ

OQ

(λ∈R，λ＞1)．設AP、BP、AQ、BQ的斜率分別為k₁、k₂、k₃、k₄．
（1）求證：k1•k2=

b2

a2

；
（2）求k₁+k₂+k₃+k₄的值；
（3）設F₁、F₂分別為雙曲線和橢圓的右焦點，若PF₁∥QF₂，求k₁²+k₂²+k₃²+k₄²的值．

Answer 1

分析：（1）設P（x₁，y₁），則k₁•k₂=

y1

x1+a

•

y1

x1-a

=

y12

x12-a2

，再利用點P（x₁，y₁）在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1上，從而可證k1•k2=

b2

a2

；
（2）先計算k₁+k₂=

y1

x1+a

+

y1

x1-a

=

2x1y1

x12-a2

=

2b2

a2

•

x1

y1

，設Q（x₂，y₂）同理可得k₃+k₄=-

2b2

a2

•

x2

y2

，

OP

與

OQ

共線⇒

x1

y1

=

x2

y2

，從而可求得k₁+k₂+k₃+k₄的值；
（3）由（2）可求得∴（k₁+k₂）²=4

b4

a4

•

x12

y12

，（k₃+k₄）²=4

b4

a4

•

x22

y22

，PF₁∥QF₂⇒|OF₁|=λ|OF₂|⇒λ²=

a2+b2

a2-b2

⇒

x12

y12

=

a4

b4

，從而得到（k₁+k₂）²=4，（k₃+k₄）²=4；問題即可解決．

解答：（1）證明：設P（x₁，y₁），k₁•k₂=

y1

x1+a

•

y1

x1-a

=

y12

x12-a2

，且

x12

a2

-

y12

b2

=1，
∴x₁²-a²=

a2

b2

•y₁²，
∴k1•k2=

b2

a2

；
（2）解：∵k₁+k₂=

y1

x1+a

+

y1

x1-a

=

2x1 y1

x12-a2

=

2x1y1

a2 b2 • y12

=

2b2

a2

•

x1

y1

，
設Q（x₂，y₂），同理可得k₃+k₄=-

2b2

a2

•

x2

y2

，
又

OP

與

OQ

共線，
∴x₁=λx₂，y₁=λy₂，
∴

x1

y1

=

x2

y2

，
∴k₁+k₂+k₃+k₄=

2b2

a2

（

x1

y1

-

x2

y2

）=0；
（3）解：∵

OP

=λ

OQ

(λ∈R，λ＞1)，
∴

x2= 1 λ x1 y2= 1 λ y1

，又

x22

a2

+

y22

b2

=1，
∴

x12

a2

+

y12

b2

=λ2，又

x12

a2

-

y12

b2

=1，
∴

x12= λ2+1 2 a2 y12= λ2-1 2 b2

，
又∵若PF₁∥QF₂，
∴|OF₁|=λ|OF₂|，
∴λ²=

a2+b2

a2-b2

，
∴

x12

y12

=

λ2+1

λ2-1

•

a2

b2

=

a4

b4

，
∴（k₁+k₂）²=4

b4

a4

•

x12

y12

=4

b4

a4

•

a4

b4

=4；
同理（k₃+k₄）²=4；
又k1•k2=

b2

a2

，k3•k4=-

b2

a2

，
∴k₁²+k₂²+k₃²+k₄²=（k₁+k₂）²+（k₃+k₄）²-2（k₁•k₂+k₃•k₄）=4+4-0=8．

點評：本題考查圓錐曲線的綜合，著重考查整體代換與方程思想，培養學生綜合分析問題、解決問題的能力，屬于難題．