Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足：a₁=a(a≠0)，a_n+1=rS_n(n∈N*，r∈R，r≠-1)，
(1)求數列{a_n}的通項公式；
(2)若存在k∈N*，使得S_k+1，S_k，S_k+2成等差數列，試判斷：對于任意的m∈N*，且m≥2，a_m+1，a_m，a_m+2是否成等差數列，并證明你的結論．

Answer 1

解：(1)由已知，可得，
兩式相減可得，即，
又a₂=ra₁=ra，
所以當r=0時，數列{a_n}為：a，0，…，0，…；
當r≠0，r≠-1時，由已知a≠0，所以a_n≠0(n∈N*)，
于是由，可得，
∴a₂，a₃，…，a_n，…成等比數列，
∴當n≥2時，，
綜上，數列{a_n}的通項公式為；
(2)對于任意的m∈N*，且m≥2，成等差數列．
證明如下：當r=0時，由(1)知，
∴對于任意的m∈N*，且m≥2，成等差數列；
當r≠0，r≠-1時，
∵，
若存在k∈N*，使得成等差數列，則，
∴，即，
由(1)知，a₂，a₃，…，a_n，…的公比r+1=-2，
于是對于任意的m∈N*，且m≥2，a_m+1=-2a_m，
從而，
∴，即成等差數列．
綜上，對于任意的m∈N*，且m≥2，成等差數列．