Question

(本小題滿分14分) 如圖，已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面CDAB， ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD90º，BC2，PAAB1．

（1）求證：PD⊥AB；

（2）在線段PB上找一點E，使AE//平面PCD；

（3）求點D到平面PBC的距離．

 

Answer 1

【答案】

h=

【解析】解：（1）∵PA⊥平面CDAB，AB平面ABCD，∴PA⊥AB，   …………2分

又AB⊥AD，PAAD=A，∴AB⊥平面PAD，                    …………3分

∵PD平面PAD，∴AB⊥PD．                                   …………4分

（2）取線段PB的中點E，PC的中點F，連結AE，EF，DF，

EF是△PBC中位線，∴EF∥BC，；                    …………6分

又AD∥BC，，∴四邊形EFDA是平行四邊形，          …………8分

∴AE∥DF，又AE平面PDC，DF平面PDC，∴AE∥平面PDC，

故線段PB的中點E是符合題意要求的點．                        …………10分

（3）設點D到平面PBC的距離為h．∵BC⊥AB，BC⊥PA，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，

PB=，S_△PBC=PB·BC=，S_△BDC=BC·AB=1  …………12分

∵V_P－BDC=V_D－PBC，即S_△BDC·PA=S_△PBC·h ，∴h=．           …………14分