Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D中，AB=3，BC=AA₁=4，E，F分別為AB、BB₁的中點．
（1）求三棱錐A₁-AB₁D₁的體積；
（2）求異面直線EF與BC₁所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）三棱錐A₁-AB₁D₁中，由==6，AA₁⊥平面A₁B₁D₁，且AA₁=4，能求出三棱錐A₁-AB₁D₁的體積．
（2）由E，F分別為AB、BB₁的中點，知EF∥DC₁，從而得到∠BC₁D異面直線EF與BC₁所成角（或所成角的補角），由此能求出異面直線EF與BC₁所成角的余弦值．
解答：解：（1）三棱錐A₁-AB₁D₁中，
∵==6，
AA₁⊥平面A₁B₁D₁，且AA₁=4，
∴三棱錐A₁-AB₁D₁的體積
V===8．
（2）∵E，F分別為AB、BB₁的中點，
∴EF∥DC₁，
∴∠BC₁D異面直線EF與BC₁所成角（或所成角的補角），
連接BD，∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D中，AB=3，BC=AA₁=4，
∴，DC₁=5，BD=5，
∴cos∠BC₁D==．
故異面直線EF與BC₁所成角的余弦值為．
點評：本題考查三棱錐的體積的求法，考查異面直線所成角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．